参考： 向量空间
向量空间
设 V 是一个非空集合，P 是一个数域。如果在 V 中定义了加法运算 “+”，P 与 V 定义了数乘运算 “$\cdot$”， 且满足八条运算规则（参考： 向量空间）,则称系统 $(\mathbf{V},\mathbf{P},+,\cdot)$ 为线性空间。关键词：向量集合，加法数乘运算，八条规则。
基与维数
向量空间所有向量的一组最大线性无关组称为一组基，基向量的个数为空间维数。如果一组基是规范正交向量组，则称为 规范正交基。
坐标
向量空间一组基： $\mathbf{\varepsilon}_1,\mathbf{\varepsilon}_2,…,\mathbf{\varepsilon}_n$， 对 $\alpha$ 有：
$$ \mathbf{\alpha} = a_1 \mathbf{\varepsilon}_1 + a_2 \mathbf{\varepsilon}_2 + … + a_n \mathbf{\varepsilon}_n $$
称数组 $(a_1,a_2,…,a_n)$ 为 $\mathbf{\alpha}$ 在基 $\mathbf{\varepsilon}_1,\mathbf{\varepsilon}_2,…,\mathbf{\varepsilon}_n$ 下的坐标。
求解坐标，一般思路是求解方程组 $[\mathbf{\varepsilon}_1,\mathbf{\varepsilon}_2,…,\mathbf{\varepsilon}_n] \mathbf{X} =\mathbf{\alpha}$， 而当基为规范正交基时可简化成 $a_i=\mathbf{\alpha} \cdot \mathbf{\varepsilon}_i$
基变换与坐标变换
旧基变换到新基：
$$ (\mathbf{\varepsilon}_1’,\mathbf{\varepsilon}_2’,…,\mathbf{\varepsilon}_n’) = (\mathbf{\varepsilon}_1,\mathbf{\varepsilon}_2,…,\mathbf{\varepsilon}_n) \mathbf{A} $$
$\mathbf{A}$ 称为 过渡矩阵， 可逆。
对应旧坐标变换到新坐标：
$$ \begin{bmatrix}
a_1’ \
a_2’ \
\vdots \
a_n’ \end{bmatrix}
= \mathbf{A}^{-1} \begin{bmatrix}
a_1 \
a_2 \
\vdots \
a_n \end{bmatrix}
$$