参考： 空间解析几何
在 n 维空间中，满足方程
$$a_1 x_1 + a_2 x_2 + … + a_n x_n = b $$
的向量 $(x_1, x_2,…,x_n)$ 构成的空间称为 超平面。 例如，立体空间中它表示平面，平面中它表示直线。表面上有 n 个自由维度，实际上当 $(n-1)$ 个维度值确定时，剩下的一个维度也确定了。
参数的取值范围与 Perceptron
单层感知器（Perceptron）利用超平面分类数据。输入训练数据为向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2,…, x_n)$， 其目标是训练出权重向量 $\mathbf{w} = (w_1, w_2,…, w_n)$ 与偏值 $b$， 使得所有满足 $\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}\ge b$ 的数据同为一类，而满足 $\mathbf{w}\cdot \mathbf{x}< b$ 的数据同为另一类。形象地理解就是，给定 n 维空间的许多点，分为两种类型，要求找到一个超平面，将这两种类型的点分开。再形象点，在二维空间中，有许多红点和蓝点，Perceptron 需要划一条直线将红点蓝点分开。（当然，Perceptron 往往不能对数据完全正确分类，所以有后续的处理。这里只是理想情况）
值得注意的是，偏值 $b$ 容易被误认为无需训练，直接设为定值就行（比如零）。实际上，将权重向量的任何一个元素及偏值 $b$ 固定为常量，都会导致（ $\mathbf{w}, b$ ）所能表示的超平面减少，从而导致分类的能力下降。可以参考平面下直线的表达式： $ax+by=c$ ，如果固定 $c=0$， 该直线必定过原点，不能表示许多不过原点的直线。
点到超平面距离与 SVM
支持向量机（SVM）也是利用超平面分类向量的，它关注的是点与超平面的距离。
已知超平面的法向量 $\mathbf{w}=(w_1,w_2,…,w_n)$ 和数 $b$， 超平面表示为：
$$ \mathbf{w}\cdot\mathbf{x} + b=0 $$
$\mathbf{x}= (x_1, x_2,…, x_n)$ 表示超平面上的任意一点。设 $\mathbf{y}_0= (y_1, y_2,…, y_n)$ 为超平面上一点，则有 $\mathbf{w}\cdot\mathbf{y}_0 = -b$。可得点 $\mathbf{s}= (s_1, s_2,…, s_n)$ 与超平面的距离 $d$：
$$ d=\left| \frac{\mathbf{w}\cdot(\mathbf{s}_0 - \mathbf{y}_0)}{||\mathbf{w}||} \right|=\left| \frac{\mathbf{w}\cdot\mathbf{s}_0 + b}{||\mathbf{w}||} \right| $$