参考
- 《微积分（第2版）（上册）》，傅英定 谢云荪 主编，高等教育出版社
微积分系列笔记
常见处理
对 $e^{x^2}$ 的积分
考虑正态分布
根式常见处理
- 平方
- 分子、分母有理化
- 换元
幂指函数处理
- 指数真底互换
- 取对数
乘法变加法
取对数
积分被积变量
非被积变量被视为常数，即使是自变量，如 $f(x) =x \int_a^x f(t) dt$， 也可以自由“出入”积分，如 $f(x) = \int_a^x x f(t) dt$
2 变量不等式证明
固定一个，变动另一个，即其中一个作为常数，另一个作为变量。另外，区间端点如 $a, b$， 也可视为 2 个变量。
无穷项数列和的极限
- 夹逼准则
- 定积分定义
- 构造函数项无穷级数
不定积分
不定积分的定积分形式： $\int f(x) dx = \int_0^x f(x) dx + C$
max 与 min 函数不等式
- $\max(a,b) < c$ 等价于 $a < c\; \&\& \; b < c$
- $\min(a,b) > c$ 等价于 $a > c\; \&\& \; b > c$
- $\max(a,b) > c$ 的逆命题是 $\max(a,b) \le c$， $\min$ 函数同理
公式
对数换底公式
$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}=\frac{\ln b}{\ln a}$$
指数真底互换
$$x^y =a^{y\log_a x}= e^{y\ln{x}}$$
求导公式
$$(x^a)’ = a x^{a-1}$$
$$(e^x)’ = e^x, \quad (a^x)’ = a^x \ln a$$
$$(\ln x)’ = \frac{1}{x}, \quad (\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a} $$
$$(\sin(x))’ = \cos(x), \quad (\cos(x))’ = -\sin(x)$$
$$(\tan(x))’=\frac{1}{\cos^2 x}, \quad (\cot(x))’ = -\frac{1}{\sin^2(x)}$$
$$(\arcsin(x))’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arccos(x))’ = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(\arctan (x))’ = \frac{1}{x^2 + 1},\quad (arccot(x))’ = -\frac{1}{x^2 + 1}$$
$$(\sec(x))’ = \sec(x)\tan(x),\quad (\csc(x))’ = -\csc(x)\cot(x)$$
$$\frac{d}{dx}\int_{\psi (x)}^{\varphi (x)}f(t)dt=f\left[\varphi
(x)\right]\varphi ‘(x)-f[\psi (x)]\psi ‘(x)$$
不定积分
$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C$$
$$\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$$
$$\int \frac{1}{a^2-x^2} dx = \frac{1}{2a} \ln |\frac{a+x}{a-x}| + C$$
$$\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x|+ C$$
$$\int \csc x dx = \ln |\csc x - \cot x|+ C$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \ln |x +\sqrt{x^2 \pm a^2}| + C$$
分部积分可循环形式
$\sqrt{x^2 \pm a^2}, \quad \sqrt{a^2 - x^2}$
几个简单函数的 n 阶导数
$$(x^\alpha)^{(n)} = \alpha(\alpha-1)…(\alpha-n+1)x^{\alpha-n},\quad (x^n)^{(n)} = n!$$
$$\sin^{(n)}x = \sin(x+\frac{\pi}{2}n), \quad \cos^{(n)}{x} = \cos(x+\frac{\pi}{2}n)$$
$$(\frac{1}{x})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$$
$$[\alpha u(x) + \beta v(x)]^{(n)} = \alpha u^{(n)}(x) + \beta v^{(n)}(x)$$
$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n u^{(n-k)} v^{(k)}\quad Leibniz 公式$$
三角公式
三角与反三角
$\sec(x)\cos(x)=1,\quad \csc(x)\sin(x)=1,\quad \cot(x)\tan(x)=1,\quad$
两角和
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta$$
$$\sin(\alpha + \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta$$
$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \cdot \tan\beta}$$
倍角公式
$$\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$$
$$\cos(2\alpha)=(\cos\alpha)^2-(\sin\alpha)^2=2(\cos\alpha)^2-1=1-2(\sin\alpha)^2$$
$$\tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$
等价无穷小
$$\sqrt[n]{x+1} - 1 \sim \frac{x}{n}$$
$$1-\cos{x} \sim \frac{1}{2} x^2$$
$$\arcsin(x) \sim \sin(x) \sim \tan(x) \sim \arctan(x) \sim x$$
$$\tan(x) - \sin(x) \sim \frac{1}{2}x^3$$
$$ \ln(1+x) \sim x, \quad \log_a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a} $$
$$ e^x - 1 \sim x, \quad a^x - 1 \sim x\ln a $$
不等式
- 基本不等式：$a + b \ge 2\sqrt{a b}$
- $a + b \le 2(a^2 + b^2)$
方向余弦
对 $(\cos \alpha, \cos \beta)$ 有
$$ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1 $$
数列和
等比数列（几何数列） ${a_n}$ ，$a_n = a_1q^{n-1}$， 和：
$$ S_n = \frac{a1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a{n+1} - a_1}{q-1} $$
导数运算
除法：
$$ (\frac{u}{v})’(x) = \frac{u’(x)v(x) - u(x)v’(x)}{v^2(x)} $$
参数方程： $y=y(t),\; x= x(t)$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx} = \cfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} $$
复合函数求导的链式法则： $z=z(u(x,y), v(x,y))$
$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} $$
隐函数：若 $F(x,y)=0$ 隐函数存在，则
$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} $$
隐函数推广到二元 $F(x,y,z)=0$ 有
$$ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z} $$
定义
数列极限
$\forall \epsilon \gt 0$，$\exists N \gt 0$，当 $n \gt N$ 时，有 $|an - A| \lt \epsilon$，则 $\lim{n \rightarrow \infty}{a_n} = A$
函数极限（有限值）
要求 在 $x_0$ 的某去心邻域有定义，对 $\forall \epsilon \gt 0$，都 $\exists \delta > 0$，使满足 $0 \lt |x-x0| \lt \delta$ 的所有x，都有 $|f(x) - A| \lt \delta$，则 $\lim{n \rightarrow x_0}{f(x)} = A$
二重函数极限
$f(x,y)$ 的定义为 $D$， $P_0(x_0,y_0)$ 为 $D_f$ 的聚点，对 $\forall \epsilon \gt 0$，都 $\exists \delta > 0$， 使满足 $0<||PP_0||=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\sigma$ 的所有 $P(x,y)$， 都有 $|f(x,y)-A|<\sigma$， 则
$$ \lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y) = A$$
二重极限存在则 $P(x,y)$ 以 任意方式 接近 $P_0(x_0,y_0)$， 其极限都存在。可以推广到更多元函数极限。
连续
极限等于函数值，则该处连续。
导数
$$ f’(x0) = \lim{\Delta x \rightarrow 0} \frac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)} {\Delta x} $$
偏导数
$$ zx= \frac{\partial z}{\partial x} = \lim{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} $$
二阶偏导
$$ \frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z }{\partial x^2} = f{xx}(x,y),\quad \frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z }{\partial x \partial y} = f{xy}(x,y) $$
方向导数
若 $z=f(x,y)$ 可微，则存在沿 方向余弦 为 $(\cos\alpha, \cos\beta)$ 的方向 l 的方向导数
$$ \frac{\partial z}{\partial l} = \frac{\partial z}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial z}{\partial l} \cos \beta $$
方向导数是函数沿 l 方向的变化率。偏导数是沿坐标轴的函数变化率。
梯度
梯度是一个向量：
$$ \mathbf{grad} f= \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} $$
全微分
全增量：
$$ \Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y) $$
若偏导数 $f_x(x_0, y_0）, f_y(x_0, y_0)$ 均存在，且存在极限：
$$ \lim_{\Delta x,\Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta z - (f_x(x_0, y_0） \Delta x + f_y(x_0, y_0） \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} = 0 $$
则全微分存在：
$$ dz = f_x(x_0, y_0) dx + f_y(x_0, y_0) dy $$
$f_x(x_0, y_0) dx + f_y(x_0, y_0) dy$ 称为线性主部。可微时有： $\Delta z = f_x(x_0, y_0) \Delta x + f_y(x_0, y_0) \Delta y + o(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2})$
微分
若函数在某处可导，则有 $\Delta y = f’(x) \Delta x + o(\Delta x)$， 其中 $dy = f’(x)\Delta x = f’(x) dx$ 即该处微分。$f’(x)\Delta x$ 称为线性主部。
定积分
关键字：分割，近似，求和，取极限
设函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a, b]$ 上有界，将 $[a, b]$ 任意划分为 $n$ 个小区间，分点为：
$$a=x_0<x_1<x_2<…<x_n=b$$
在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]\; (i=1,2,…,n)$ 上任取一点 $\xii\; (x{i-1} \le \xi_i \le x_i)$， 记
$$ \Delta x_i =xi - x{i-1}\; (i=1,2,…,n),\; \lambda=\max_{1\le i \le n}{\Delta x_i} $$
作和式
$$ \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i $$
如果无论区间 $[a,b]$ 怎样划分及点 $\xi_i$ 怎样选取，极限
$$ \lim{\lambda \rightarrow 0} \sum{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i $$
的值都为同一常数，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，此极限值称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记为 $\int_a^b f(x) dx$， 即
$$ \inta^b f(x) dx = \lim{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i $$
其中 $x$ 称为 被积分变量， $f(x)$ 称为 被积函数 ， $f(x)dx$ 称为 被积表达式 ， $a,b$ 分别为 积分下限， 积分上限， $\int$ 称为 积分符号， 表示和， $[a,b]$ 为 积分区间 。
不定积分
在定义域内，如果 $(F(x))’ = f(x)$，则
$$\int f(x) dx = F(x) + C$$
间断点
不连续的点。第一类间断点，左右极限都存在。第二类间断点即不属于第一类间断点的间断点。
基本初等函数
指六类函数：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。以上函数通过有限次四则运算或有限次算命运算所得，且能用一个解析式表示的函数，称为 初等函数。
驻点
一阶导数为 0 的 $x$ 值。
极值点
对 $\forall x \in$ 去心邻域 $(x_0, \delta)$, 都有 $f(x) \lt f(x_0)$ （或 $f(x) \gt f(x_0)$） 则称 $x_0$ 为极大（小）值点。
函数凹凸性
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续
$$f(\frac{x_1+x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$$
则下凸，大于则上凸
拐点
$f(x)$ 在 $x_0$ 附近连续，且两侧凸性相反，则 $(x_0, f(x_0))$ 为拐点
函数渐近线
- 垂直渐近线 $x=x_0$
$$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \infty$$
- 水平渐近线 $y=b$
$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = b$$
斜渐近线 $y=k x + b$
$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) - (k x + b) = 0$$
$$k =\lim{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x},\quad b = \lim{x \rightarrow \infty} f(x) - k x$$
函数曲率
$\alpha \sim 角度,\quad s \sim 弧长,\quad K \sim 曲率$
$$K = \lim_{\Delta s \rightarrow 0} |\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}| = \frac{|y’’|}{(1+y’^2)^{\frac{3}{2}}}$$
圆的曲率： $K = 1 / R$。 曲率半径： $1/K$, 曲率圆与函数曲线相切，以曲率半径为半径，曲率中心为曲率圆的圆心。
反常积分
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又叫无界函数的反常积分）。
无穷级数
一个无穷序列的元素的和称为无穷级数。序列的通项称作级数的 通项， 若为常数，则称作常数项无穷级数，若为函数，称作函数项无穷级数。无穷级数是 函数逼近理论 的重要内容之一。
定理
微分、偏导与连续
对一阶，可微必可导，可导必连续，连续有极限。
对二阶，可微必偏导和连续，连续有极限。可微的充分条件：偏导函数存在且偏导函数连续。
微分中值定理
罗尔中值定理（导数根存在定理）
$f(x)$ 满足三个条件，一、在 $[a,b]$ 连续，二、在 $(a,b)$ 可导，三、 $f(a)=f(b)$ ，则 $\exists \xi \in (a,b)$, 使得 $f’(\xi)=0$。几何意义：存在切线与端点连线平行。
拉格朗日定理
$f(x)$ 满足二个条件，一、在 $[a,b]$ 连续，二、在 $(a,b)$ 可导，则 $\exists \xi \in (a,b)$, 使得
$$ f’(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$
几何意义：存在切线与端点连线平行。
柯西中值定理
$f(x),\;g(x)$ 满足二个条件，一、在 $[a,b]$ 连续，二、在 $(a,b)$ 可导，另外， $\forall x \in (a,b)$， $g’(x) \ne 0$, 则 $\exists\xi \in (a,b)$, 使得
$$ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}$$
泰勒公式
$f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则
$$ f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \frac{f’’(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + … + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)
$$
$R_n(x)$ 称为余项
- 偑亚诺余项 $R_n(x) = o((x-x_0)^n)$,
- 拉格朗日余项 , $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间
$$R_n(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$
有界性定理
函数连续则有界
介值定理
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在一个介于 $f(a) \sim f(b)$ 的值
根/零点存在定理
如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$， 则 $f(x) = 0$ 存在根，如果 $f(x)$ 单调，则只存在一个根。
可积的充要条件
满足以下条件之一：
- f(x) 连续（则原函数可导）
- 单调有界
- 只有有限个第一类间断点且有界
定积分的性质
（定）积分中值定理
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi \in (a,b)$
$$\int_a^b f(x) dx = f(\xi) (b-a)$$
估值定理
设 M 与 m 分别为 f(x) 在 [a,b] 上的最大最小值，则
$$ m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a) $$
保号性
如果在 [a,b] 上 $f(x) \ge 0$， 则 $\int_a^b f(x) dx \ge 0$
推论1， 保序性： 如果在 [a,b] 上 $f(x) \ge g(x)$， 则 $\int_a^b f(x) dx \ge \int_a^b g(x) dx$
推论2： $\int_a^b |f(x)| dx \ge |\int_a^b f(x) dx|$
区间可加性
不论 a,b,c 三点相对位置，恒有 $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$
线性性
$\int_a^b [k_1 f(x)+k_2 g(x)] dx = k_1 \int_a^b f(x) dx + k_2 \int_a^b g(x) dx$
奇偶函数的导函数
奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数
极限的性质
（局部）有界性
若 $lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$, 则 $\exists\;M>0,\;\delta > 0$，对 $\forall\; x \in U^\circ(x_0, \delta)$， 都有 $|f(x)| \le M$
局部保号性
若 $lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A > 0$ （或 $<0$ ）,="" 则="" $\exists="" \delta="">0$， 使得对 $\forall x \in U^\circ(x_0,\delta)$， 都有 $f(x) > 0\;(<0)$
极限存在准则
夹逼准则
若在 $x_0$ 的某个空心邻域 $(x_0,\delta0)$ 内，有 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ ，且 $\lim{x\rightarrow x0} g(x) =lim{x\rightarrow x0} h(x)=A$， 则 $lim{x\rightarrow x_0} f(x)=A$
单调有界准则
单调有界数列必有极限，包括单调增加有上界，单调减少有下界两种情况
隐函数存在定理（一个方程）
设方程 $F(x,y)=0$ 的左端函数 $F(x,y)$ 满足
- 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某一邻域内具有连续的偏导数 $F_x,\; F_y$
- $F(x_0,y_0)=0$
- $F_y(x_0,y_0)\ne 0$
则在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某一邻域内，由方程 $F(x,y)=0$ 唯一确定单值连续且有连续导数的函数 $y=f(x)$， 使得 $F(x, f(x)) \equiv 0$， 且 $y_0=f(x_0)$ 并有：
$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} $$
可推广到多元隐函数
偏导数与梯度
单位向量 $\mathbf{l}(\cos \alpha, \cos \beta)$ 的偏导数
$$ \frac{\partial f}{\partial l} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \cdot (\cos \alpha, \cos \beta) = \mathbf{grad } f \cdot \mathbf{l} = ||\mathbf{grad} f|| \cdot \cos \theta $$
其中 $\theta$ 为梯度 $\mathbf{grad} f$ 与方向向量 $\mathbf{l}$ 的夹角。有以下结论：
- 方向导数沿梯度方向取得最大值 $||\mathbf{grad}f||$
- 方向导数沿梯度反方向取得最小值 $-||\mathbf{grad}f||$