导数存在性
导数定义
首要注意在 $x_0$ 的某邻域内有定义
以下是错误例子：
$$ f’(x0) = \lim{\Delta x \rightarrow 0} \frac {f(x_0 + \Delta x) - f(x_0 - \Delta x)} {2 \Delta x}
$$
这里有 2 个问题：
- 在 $x_0$ 处是否有定义
- 在 $x_0$ 即使有定义，如果不连续（跳跃间断点），左右导数不相等
左导数等于右导数
导函数判断
- 连续
- 导函数左极限等于右极限
导函数左右极限与左右导数，顾名思义，并非同一个概念。注意，该条件是可导的充分非必要条件。该条件可用于对分段函数可导做快速判断。
一阶微分形式不变性
无论 u 是中间变量还是自变量，都有 $dy = y’(u) du$。运用：
- 求复合函数的导数（微分）
- 凑微分积分法
隐函数、反函数及参数函数求导
隐函数
方程 $F(x, y) = 0$ 所确定的隐式函数 $y=f(x)$，往往不能用显式公式表示。求导方法：方程两边同时求导，同时将 y 视为 x 的函数。
反函数求导
如果 $x = g(y)$ 为 $y=f(x)$ 的反函数，则 $g’(y) = \frac {1} {f’(x)}$
参数函数求导
当参数方程不便将 y 由 x 表达时，用下列公式求导
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$
n 阶导数
往往可以提出低次幂因子并消去