极值点、拐点与泰勒公式
$$ f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x-x_0) + \frac{f’’(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + … + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)
$$
对存在 n 阶导数的函数，
- 极值点要求一阶导数为 0，并且函数在邻域内先增后减或先减后增，称为“折回”的趋势；
- 拐点要求二阶导数为 0，并且要求二阶导数在邻域内左右异号，即单调的趋势。
从泰勒公式可见，在 $x_0$ 的 附近 ，
- 在 $x_0$ 的非 0 的偶数次导数使函数有“折回”的趋势（不受 $(x-x_0)$ 符号影响），
- 在 $x_0$ 的非 0 的奇数次导数使函数有单调趋势。
- 低阶导数比高阶导数更有“影响力”。
所以，有以下结论：
- 对极值点，要求一阶导数为 0，还要求第一个非 0 的更高阶导数的阶数为偶数；若为正，增加了附近的函数值，所以该点值更小，故为极小值，反之，极大值
- 对拐点，要求二阶导数为 0，还要求第一个非 0 的更高阶导数的阶数为奇数
凹凸性与泰勒公式
对存在 n 阶导数的函数，
- 上凸函数要求附近的值比切线值小一点，即曲线在切线的下方
- 下凸函数要求附近的值比切线值大一点，即曲线在切线的上方
对偶数阶导数，因为折回的趋势，对凹凸性有着影响；而对奇数阶导数，对函数左边加右边减或右边减左边加，且程度相同，对凹凸性没影响。
类似极值点，第一个非 0 的偶数阶导数，若为正，增加了附近的函数值，为下凸，反之为上凸。
微分中值定理
- 类柯西定理证明，存在一值使得等式成立： 构造辅助函数（原函数）
- 必要时用积分，有时需要变换方程方便积分
- 必要时解微分方程
- 定理运用经典条件：开区间可导，定区间连续，（罗尔中值定理）两点值相等
- 判断方程根存在
- 介值定理
- 罗尔中值定理，也需构造辅助函数（原函数）
- 用中值定理处理 2 个变量的等式
- 首先考虑两者相等
- 寻找三点值相等
- 解 k 法：将其中一部分视为常数 k，构造辅助函数，令端点值相等（罗尔中值条件），解出 k 并用变量表示。
泰勒公式
出现二阶及以上的导数，可以用泰勒公式，展开点多选择特殊点，如极值点，中点等。