微元法
分割、近似、求和、取极限的简略过程，微元 $dx \sim \Delta x$ 可以看作一个“无限小的过程。
几何应用
函数面积微元
| 坐标系 | 微元 |
|---|---|
| 直角坐标系 $y=y(x)$ | $y(x)dx$ |
| 极坐标 $r=r(\theta)$ | $\frac{1}{2} r^2(\theta)d\theta$ |
| 含参 $y=y(t),\,x=x(t)$ | $y(t)x’(t)dt$ |
注意掌握心形线，双纽线方程
函数体积微元
| 场景 | 微元 |
|---|---|
| 已知 $x$ 轴截面 $S(x)$ | $S(x)dx$ |
| 旋转体，绕 $x$ 轴 | $\pi y^2(x) dx$ |
补充，旋转体曲面侧面积微元： $2\pi y(x) \sqrt{1+{y’}^2(x)}dx$
弧长
| 坐标系 | 微元 |
|---|---|
| 直角坐标系 $y=y(x)$ | $\sqrt{d^2x+d^2y}=\sqrt{1+{y’}^2}dx$ |
| 极坐标 $r=r(\theta)$ | $\sqrt{r^2(\theta)+{r’}^2(\theta)}d\theta$ |
| 含参 $y=y(t),\,x=x(t)$ | $\sqrt{ {x’}^2(t)+{y’}^2(t)}dt$ |
函数平均值
$$ \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx $$