行列式的意义有很多，最早提出用于 解方程 ，那时没有矩阵的概念，后来发现行列式与线性代数的许多概念相关。需要注意的是行列式是关于 方阵 的。
行列式的性质
行列式的初等变换
- 将某一行（列）乘以某数 k 得到 $\mathbf{A_1}$, 则 $\det \mathbf{A}_1 = k \det \mathbf{A}$
- 将某一行（列）乘以某数 k 加到另一行（列）行列式不变
- 交换两行（列）行列式为原来的相反数
$\det \mathbf{A^T} = \det \mathbf{A}$, 使行性质适用于列
一行（列）拆项成多个行列式
计算技巧
一般的目标
化为三角矩阵
- 三角矩阵的行列式为其对角线元素之积
- 反三角矩阵的行列式为对角线元素之积乘上 $(-1)^{(n-1)n/2}$, 证明为从左到右交换列，最后化为三角矩阵，共交换 $n(n-1)/2$ 次
得到更多 0
多行加到一行，提该行公因子
范德蒙行列式
范德蒙行列式 $\mathbf{A} = (a{i,j}){m \times n}$， 元素 $a_{i,j}=x_j^{n-i}$ 是指数形式，底数每列不同，指数行不同，
$$\det \mathbf{A} = \prod_{1 \le j \le i \le n } (x_i - x_j)$$
其技巧是按行循环相减，同时做到第一列化 0 和每列提出公因子。
加边法
为行列式加第一行和第一列，要求第一列（行）除第一个元素为 1 外其他全为 0 。
拉普拉斯展开
k 阶子式： 行列式取 k 行 k 列，其 $k^2$ 个交点按原来相对位置组成的 k 阶行列式；\
k 阶子式的代数余子式： k 阶子式余下元素按相对位置构成行列式 $\mathbf{M}$ 称为余子式，设 k 阶子式取原行列式的 $i_1,i_2,…,i_k$ 行， $j_1, j_2, …, j_k$ 列，则代数余子式为 $(-1)^{(i_1+i_2+…+i_k)+(j_1+j_2+…+j_k)} M$
拉普拉斯定理：若行列式 D 中取定 k 个行，则由这 k 个行组成的 所有 k 阶行列子式与它们的代数余子式的乘积之和等于 D。
拉普拉斯展开对含有 0 块的行列式很有效。