与线性代数中其它如行列式、秩的求解不同，解线性方程组时，对系数矩阵施以 行初等变换。
概念
解空间
对 齐次方程组 $\mathbf{AX=b}$， 解向量的线性组合也为方程组的解，满足封闭性，其所有解向量构成的空间称为解空间。
基础解系
解空间的任一组基称为对应 齐次线性方程组 的基础解系。向量组是是基础解系的条件：
- 是解
- 线性无关
- 其它解都可被线性表出，或向量组个数为 $n-r(\mathbf{A})$
齐次线性方程的计算
齐次线性方程 $\mathbf{A} \mathbf{X} = \mathbf{0}$ \
以下以一个例子阐述（打公式太麻烦）：
第一步，对矩阵 $\mathbf{A}$ 施以行初等变换，得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & a{1,1} & a{1,2}\
0 & 1 & a{2,1} & a{2,2}\
0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 \
\end{bmatrix}
$$
与之对应有方程组：
$$ \left{ \begin{array}{l}
x1=-a{1,1}x3 - a{1,2}x_4 \
x2=-a{2,1}x3 - a{2,2}x_4 \
\end{array} \right.
$$
第二步，令
$$ \begin{bmatrix} x_3 \ x_4 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix},\;
\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$$
则第一步得到的方程组依次可得：
$$ \begin{bmatrix} x_1 \ x2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} -a{1,1} \ -a{2,1} \end{bmatrix},\;
\begin{bmatrix} -a{1,2} \ -a_{2,2} \end{bmatrix}$$
最后可求得 基础解系 $\xi_1,\; \xi_2$：
$$ \xi1 = \begin{bmatrix} -a{1,1} \ -a_{2,1} \ 1 \ 0 \end{bmatrix},\quad
\xi1 = \begin{bmatrix} -a{1,2} \ -a_{2,2} \ 0 \ 1 \end{bmatrix}
$$
通解 表示为 $\mathbf{X} = k_1 \mathbf{\xi}_1 + k_2 \mathbf{\xi}_2$
基础解系有 n - r 个向量, n 为系数矩阵列数（x 个数），r 为系数矩阵的秩。
非齐次线性方程的计算
$$\mathbf{A} \mathbf{X} = \mathbf{b}$$
第一步，对 增广矩阵 施以行初等变换，得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & a{1,1} & a{1,2} & b1\
0 & 1 & a{2,1} & a_{2,2} & b_2\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\
\end{bmatrix}
$$
与之对应有方程组：
$$ \left{ \begin{array}{l}
x1=-a{1,1}x3 - a{1,2}x_4 + b_1\
x2=-a{2,1}x3 - a{2,2}x_4 + b_2\
\end{array} \right.
$$
第二步，令 $x_3=x_4=0$ 得一个特解：
$$ \mathbf{\gamma}_0 = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} $$
第三步，求出对应齐次方程组 $\mathbf{A} \mathbf{X} = \mathbf{0}$ 的基础解系： $\mathbf{\xi}_1,\; \mathbf{\xi}_2$
得到通解为 $\mathbf{X} = \mathbf{\gamma}_0 + k_1 \mathbf{\xi}_1 + k_2 \mathbf{\xi}_2$
克拉默法则
系数矩阵为方阵 $\mathbf{A}$ 的关于 x 的 非齐次线性方程组 $\mathbf{AX=b}$ 的解法：
$$ x_j = \frac{\det \mathbf{A_j}}{\det \mathbf{A}} $$
$A_j$ 是 j 列换成方程的常数列（ $\mathbf{b}$ ）得到的矩阵。
解与秩
- 齐次方程组有非零解（有多解）， $r(\mathbf{A})<n$
- 非齐次方程组有解， $r(\mathbf{A}) = r(\mathbf{A},\mathbf{b})$
解题技巧
代入检验
求出解后可代入方程检验
解的情况
根据参数取值讨论解的情况，系数矩阵往往是方阵，考虑计算系数矩阵行列式