概念
线性组合
$$ \mathbf{\beta} = k_1 \mathbf{\alpha_1} + k_2 \mathbf{\alpha_2} +…+ k_n \mathbf{\alpha_n} $$
称向量 $\mathbf{\beta}$ 为向量组 $(\mathbf{\alpha}_1,\mathbf{\alpha}_2,…,\mathbf{\alpha}_n)$ 的线性组合，注意 线性组合是一个向量。 也可称 $\mathbf{\beta}$ 被线性表出。
等价于 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{\beta}$ 有解， 其中 $\mathbf{A}=[\mathbf{\alpha}_1,\mathbf{\alpha}_2,…,\mathbf{\alpha}_n]$， $k$ 数组可由解方程组得到。
向量组（间）等价
对两个向量组 A, B，A 的每个向量都可被 B 线性表出，称 A 可被 B 线性表出，若 A, B 能相互线性表出，称二者等价。 等价向量组有相同的秩。
向量组（内）线性相关
存在不全零常数组 $k_1,k_2,…,k_n$ 使得
$$ k_1\mathbf{\alpha}_1 + k_2\mathbf{\alpha}_2 +…+k_n\mathbf{\alpha}_n=\mathbf{0} $$
则称向量组 $(\mathbf{\alpha}_1, \mathbf{\alpha}_2,…,\mathbf{\alpha}_n)$ 线性相关，否则，线性无关，即常数组全零。
等价于 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{0}$ 有非零解
其中系数矩阵 $\mathbf{A}=[\mathbf{\alpha}_1,\mathbf{\alpha}_2,…,\mathbf{\alpha}_n]$， 线性无关等价于 $\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{0}$ 只有零解
部分相关，整体相关
向量组内有一部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关。其逆否命题是， 整体无关，部分无关， 即向量组线性无关，则向量组内每部分向量组线性无关。
无关组加一相关
向量组线性无关，加入一向量 $\mathbf{\beta}$ 线性相关，则 $\mathbf{\beta}$ 可由向量组线性表出，表示式唯一。
最大无关组
若向量组 $T$ 满足：
- 在 $T$ 中有 $r$ 个向量 $\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r$ 线性无关
- $T$ 中任意 $r+1$ 个向量都线性相关，即其它向量可由条件 1 中的无关组表出
则称 $\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r$ 是向量组 $T$ 的一个最大线性无关组，简称为最大无关组。最大无关组的向量数 r 为 向量组 $T$ 的秩。
求最大无关组
用列向量组构成矩阵，再求其行阶梯矩阵
相关定理
- 若线性无关组 $\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_r$ 可由向量组 $\beta_1, \beta_2,…,\beta_s$ 线性表出，则 $r\le s$
- $\alpha_{i1},\alpha{i2},…,\alpha{i_r}$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$ 的线性无关组，它是最大无关组的充要条件是，整个向量组中每个向量均可由该无关组表出。