参考： 随机变量函数 - Vamei
联合分布函数
性质
- $P { x_1 < X \le x_2,\;\; y_1 < Y \le y_2 } \ge 0$
- 分别对 x，y 单调不降，即 $x_1 < x_2$ 有 $F(x_1,y) \le F(x_2,y)$
- 对每个变量 F(x,y) 是右连续的，有 $\lim_{x\rightarrow x_0^+} F(x,y)= F(x_0,y)$
- $0\le F(x,y) \le 1$ 且 $\lim{x\rightarrow -\infty} F(x,y) =0$ 且 $\lim{x\rightarrow +\infty,\;y\rightarrow +\infty} F(x,y) =1$
联合分布律
$$ P{ X = x_i, Y= yi } = p{ij} $$
性质
- $p_{ij}$ 和为 1
- $P{ X = xi}=p{i\cdot}$ 边缘分布函数
联合概率密度
$$ F(x,y) = \int{-\infty}^x \int{-\infty}^y f(u,v) \; du\;dv $$
边缘概率密度
$$ fX(x) = \int{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy $$
概率由密度函数计算
$$ P{ (X,Y) \in G } = \underset{G}{\int\int} f(x,y) d\sigma $$
二维均匀分布
$$ f(x,y) = \left{ \begin{array}{l}
\frac{1}{S(G)},\quad (x,y) \in G \
0,\quad (x,y) \notin G
\end{array} \right. $$
二维正态分布
$(X,Y) \sim N(\mu_1, \sigma^2; \mu_2, \sigma_2^2; \rho)$， $-1 < \rho < 1$
当 $\rho=0$，
$$ \varphi(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2} \exp(-\frac{1}{2} ( \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} ) ) $$
有：若 $(X,Y) \sim N(\mu_1, \sigma^2; \mu_2, \sigma_2^2; \rho)$， 则 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$， 所以二维正态随机变量的边缘分布仍为正态分布。
随机变量的独立性
满足 $P{ X \le x,\; Y\le y } = P{ X \le x} P{Y \le x}$， 则 X 与 Y 相互独立。
离散型的等价条件： $P{ X = x,\; Y = y } = P{ X = x} P{Y = x}$
连续型的等价条件： $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
条件分布
条件分布律
对离散型，有：
$$ P{ X = x_i,\; Y = yi} = \frac{p{ij}}{p_{\cdot j}} $$
条件概率密度
若 $f(x,y)$， $f_Y(y)$ 在 $(x,y)$ 及邻域连续，则
$$ f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} $$
条件概率计算：
$$ P{ a < X \le b | Y = c } = \inta^b f{X|Y}(x|c) dx $$
求解技巧
随机变量函数的分布
连续型单调函数
连续型随机变量 X 有概率密度 $f_X(x),\; x\in R$， $Y=g(X) \in (a,b)$ 为 可导单调 函数，则 Y 为连续型随机变量，其概率密度为：
$$ f_Y(y) = \left{ \begin{array}{l}
f_X(g^{-1}(y)) \cdot g^{-1’}(y),\quad y \in (a,b) \
0,\quad 其他
\end{array} \right. $$
来源： $f_Y(y)=F’(g^{-1}(y))$
一般解法
已知 $X$ 的概率密度 $f(x)$ 及 $Y=g(X)$
- 根据 $g(X)$ 对 $y$ 分段，注意 区间右连续
- $F(y)=P{ g(X) \le y }$， 求解 $X$ 的取值范围
- 根据 X 分布求解出 $F(y)$
求解条件概率密度
已知联合概率密度 $f(x,y)$， 求解 $f_{X|Y}(x|y)$
- 作积分区域图
- 求解边缘概率密度 $f_Y(y)$
- 对 $y$ 分段讨论，求解条件概率密度
两个随机变量简单函数的概率密度
Z = X + Y
利用公式
$$ fZ(z) = \int{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) dx $$
- 求解 $f(x,y)$
- 转化 $f(x, z-x)$
- 作 z - x 积分区域图
- 利用公式求得 $f_Z(z)$， 可能需要对 z 分段
一般方法
- 求解 $f(x,y)$
- 作 y - x 积分区域图
- 对 z 分段讨论，二重积分得到 z 的分布函数
- 对分布函数求导