重积分

微积分笔记

意义

微元 $d\Omega$	典型具象	$f(x) \cdot d\Omega$ 典型具象
$dx$	线段微元	面积或线质量
$dx\;dy$	面积微元	体积或面质量
$dx\;dy\;dz$	体积微元	体积质量

用 $f(x) dx$ 或 $1\cdot dx\,dy$ 都可以在数值上求面积，类似的还有体积

性质

线性， 区域可加性， 保序性 可见微积分笔记中定积分性质。

估值定理

设 K 与 k 分别为 f(M) 在闭区间 $\Omega$ 上的最大最小值，则

$$ k \cdot (\Omega 的度量) \le \int_\Omega f(M) d\Omega \le K \cdot (\Omega 的度量) $$

积分中值定理

设 $f(M)$ 在闭区间 $\Omega$ 上连续，则 $\exists M_0 \in \Omega$，使得

$$ \int_\Omega f(M) d\Omega = f(M_0) \cdot (\Omega 的度量) $$

对称性

当积分域 $\Omega$ 关于 $x=0$ 对称时，\
若被积函数 $f(M)$ 关于变量 $x$ 为奇函数，则 $\int\Omega f(M) d\Omega=0$ \
若被积函数 $f(M)$ 关于变量 $x$ 为偶函数，则 $\int\Omega f(M) d\Omega=2\int_{\Omega(x>0)} f(M) d\Omega$

二重积分计算

直角坐标系

以下以先 x 后 y 为例：\
先积 x 的积分区域应该 可沿 x 轴投影而不重叠 —— 所有平行于 x 轴的直线与积分区域的交点不超过 2 个 —— 如果不是，可考虑交换积分顺序或对区域分割。

作 x - y 图
画 x 轴平行线，探测 x 积分区间 $(x_1(y),\; x_2(y))$
将积分区域沿 x 轴投影，得到 y 积分区间 $(y_1, y_2)$
用公式积分，注意对 x 积分时，视 y 为常数

积分公式：

$$ \int_{y_1}^{y2} \int{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x, y) dx\,dy $$

极坐标系

r 表示到原点距离， $\theta$ 表示与 x 轴夹角。如果被积函数含有 $x^2+y^2$， $\frac{y}{x}$ 或 D 的边界含有圆弧时，可以考虑用极坐标。直角坐标与极坐标互换：

$$ \underset{D}{\int\int} f(x,y) dx\,dy = \underset{D}{\int\int} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \,dr\,d\theta $$

极坐标系积分思想与直角坐标系积分类似。习惯先积 $r$ 再积 $\theta$。

三重积分计算

直角坐标 —— 投影法

又称 先一后二。参考二重积分，其积分过程大概是：作轴平行线，找积分区间，沿轴投影，如此循环。以下以先 z 后 x、y 的顺序积分。\
同样，先积 z 的积分区域应该可沿 z 轴投影而不重叠，如果不是，可考虑交换积分顺序或对区域分割。

作 x - y - z 图
画 z 轴平行线，探测 z 积分区间 $(z_1(x,y), z_2(x,y))$
将积分区域沿 z 轴投影，同时对 z 积分
对 x、y 继续做二重积分

积分公式：

$$ \underset{D{xy}}{\int\int}dx\,dy\int{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) dz $$

直角坐标 —— 截面法

又称 切片法 或 先二后一。以下以先 x、y 后 z 为例：

习惯上满足 2 个条件，先二后一比先一后二更容易：

被积函数是关于 z 的一元函数 $f(z)$
垂直于 z 轴的截面易知，可含参数 z

计算步骤：

作 x - y -z 图
作垂直于 z 轴的截面，计算 x、y 积分区域 $D_{xy}$, 其中 z 可视作常数
将整个积分区域投影到 z 轴，得到 z 的积分区间 $(z_1, z_2)$
用积分公式计算

$$ \int_{z_1}^{z2} f(z) dz \underset{D{xy}}{\int\int} dx\,dy $$

柱面坐标系

底面为极坐标系，z 轴与之垂直。与直角坐标系的转化：

$$ \underset{D}{\int\int\int} f(x,y,z) dx\,dy\,dz= \underset{D}{\int\int\int} f(r\cos \theta, r\sin \theta, z) r \, dr\, d\theta\,dz $$

如果被积函数含有如 $x^2+y^2$ 形式，或 D 的边界含有圆柱时，使用柱面积分可能比较容易。积分步骤参考直角坐标系的投影法及截面法。

球面坐标系

$\rho$ —— 点到原点距离
$\varphi$ —— 与正 z 轴夹角 $\in [0,\pi]$
$\theta$ —— 与 x 轴夹角

与直角坐标系的转化：

$$ \underset{D}{\int\int\int} f(x,y,z) dx\,dy\,dz= \underset{D}{\int\int\int} f(\rho \sin \varphi \cos \theta,\; \rho \sin \varphi \sin \theta,\; \rho \cos \varphi) \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi\,d\theta $$

如果被积函数含有如 $x^2+y^2+z^2$ 形式，或 D 的边界含有球时，使用球面积分可能比较容易。积分步骤参考直角体系的投影法。

物理应用

质心

密度均匀 时，有

$$ \overline{x} = \frac{\int{\Omega} x \,d\Omega}{\int{\Omega} \,d\Omega},\quad \overline{y} = \frac{\int{\Omega} y \,d\Omega}{\int{\Omega} \,d\Omega},\quad \overline{z} = \frac{\int{\Omega} z \,d\Omega}{\int{\Omega} \,d\Omega} $$

意义

性质