矩阵特征值、正交化与对角化

矩阵相关

几何上看，特征向量乘对应矩阵相当于做一次“伸缩”变换。 每个方阵都有（实数或复数）特征值，而一个特征值对应无数个特征向量。\
对角化指 相似对角化，指求解与方阵相似的对角矩阵的过程。\
正交化指求解与线性无关向量组等价的正交向量组的过程，因为等价，两个向量组在同一子空间。

特征值与特征向量的计算

根据特征方程 $\det (\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}) = 0$ 计算全部特征根 $\lambda_1 \sim \lambda_k\;(k \le n)$
线性方程组 $(\lambda_i \mathbf{I}-\mathbf{A})\mathbf{X}=\mathbf{0}$ 的通解 除去零向量 即对应于 $\lambda_i$ 的所有特征向量

一般矩阵的相似对角化

$$ \mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \mathbf{Diag}[\lambda_1, \lambda_2,…,\lambda_n] $$

现需求解 $\lambda$ 与 $\mathbf{P}$。首先要求 A 能对角化。

求解 A 的特征值 $\lambda$，相似对角矩阵的对角元素即 $\lambda$，每个特征值出现的次数与其代数重数相等
求解每个特征值对应的特征向量，检查是否满足对角化条件。P 即特征列向量构成的矩阵，排列顺序与特征值相同。

施密特正交化

前提是 向量组线性无关。对 $\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s$ 施密特正交化：

$\beta_1 = \alpha_1$\
$\beta_2 = \alpha_2 - (\alpha_2\cdot \beta_1)/(\beta_1\cdot \beta_1)\,\beta_1$\
$\beta_3 = \alpha_3 - (\alpha_3\cdot \beta_1)/(\beta_1\cdot \beta_1)\,\beta_1 - (\alpha_3\cdot \beta_2)/(\beta_2\cdot \beta_2)\,\beta_2$\
…\
$\beta_s = \alpha_s - (\alpha_s\cdot \beta_1)/(\beta_1\cdot \beta_1)\,\beta_1 - (\alpha_s\cdot \beta_2)/(\beta_2\cdot \beta_2)\,\beta_2-… - (\alphas\cdot \beta{s-1})/(\beta{s-1}\cdot \beta{s-1})\,\beta_{s-1}$

得到正交向量组，再令 $\gamma_i = \beta_i / (|\beta_i|)$ 得到标准正交向量组

实对称矩阵的相似对角化

与一般矩阵的相似对角化相同，但习惯更进一步，要求 $\mathbf{P}$ 正交，所以在对每个特征值求解出特征向量组后，需要做标准正交化处理。（不同特征值的特征向量彼此正交，不必处理）

性质

特征值的和积

$$ \lambda_1 + \lambda_2 + … \lambdan = a{1,1} + a{2,2} + … + a{n,n} \
\lambda_1\lambda_2…\lambda_n = \det \mathbf{A} $$

其中包括复数特征根。可得 方阵可逆的充要条件是其所有特征值全不为零。

不同特征值的特征向量线性无关

对角化与特征值的相关定理

相似矩阵的特征值相同
n 阶方阵能对角化的充要条件
- A 的每个特征值 $\lambda_i$ 的代数重数 $k_i$ 等于方程组 $(\lambda_i \mathbf{I} - \mathbf{A}) \mathbf{X} = \mathbf{0}$ 的基础解系向量个数，即 $k_i=n - R(\lambda_i \mathbf{I} - \mathbf{A})$
- A 有 n 个线性无关的特征向量
- 充分条件：特征值都是单特征根
相似对角方阵的对角元素是全部特征值

正交矩阵的相关性质

$\det \mathbf{A} = \pm 1$
$\mathbf{A},\;\mathbf{B}$ 正交，则 $\mathbf{AB}$ 正交

实对称矩阵相关性质

特征值都是实数
不同特征值的特征向量彼此正交
一定有 正交方阵 $\mathbf{C}$ 使之相似对角化 $\mathbf{C^{-1}AC}=\mathbf{C^TAC}$