参考：
相关概念
可逆线性变换
$$ \mathbf{X} = \mathbf{CY} $$
该公式实现从未知数向量 $\mathbf{Y}$ 到 $\mathbf{X}$ 的线性变换，当 $\mathbf{C}$ 可逆时，称为可逆线性变换。
标准形
平方和形式的二次型，其系数矩阵为对角矩阵。
规范形
二次型是平方和形式、且系数为 $\pm 1$， 正在前，负在后。
惯性指数
标准形中正系数的项数为正惯性指数，负系数的项数为负惯性指数。
二次型化为标准形
通过可逆线性变换 $\mathbf{X} = \mathbf{CY}$， 变换二次型 $f(\mathbf{X})=\mathbf{X^T A X}=\mathbf{Y^T (C^T A C) Y}$。 要求 C 可逆，因为 可逆线性变换不改变二次型的秩。\
二次型化通过可逆线性变换为标准形，即求可逆 $\mathbf{C}$ 使得系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的 合同 矩阵 $\mathbf{\Lambda}=\mathbf{C^T A C}$ 为对角矩阵。（当然 $\mathbf{\Lambda}$ 也解出了）整个过程可视作对实对称矩阵 A 的合同对角化。
配方法
对 x 挨个配方，再用 x 表示 y 构成方程组，求该方程组系数矩阵的逆矩阵即 $\mathbf{C}$， 标准形在配方时可知。 （参考：线性代数知识梳理6——二次型）
正交变换
在可逆线性变换 $\mathbf{X} = \mathbf{CY}$ 的基础上，进一步要求 $\mathbf{C}$ 为正交矩阵。\
求解步骤参考 实对称矩阵的相似对角化。
相关定理
惯性定理
二次型通过可逆线性变换能化为规范形且规范形唯一。所以， 可逆线性变换不改变二次型的秩和正负惯性指数。（参考：西尔维斯特惯性定理）
正定矩阵的充要条件
对实对称矩阵 $\mathbf{A}$
- 特征值全为正实数
- 与单位矩阵合同
- 顺序主子式全大于零
顺序主子式： 方阵的前 k 行 k 列的行列式
负定矩阵的充要条件
对实对称矩阵 $\mathbf{A}$
- 特征值全为负实数
- 二次型负惯性指数为 n
- 顺序主子式满足： $(-1)^k P_k >0\;\;(k=1,2,…,n)$