多元函数极值
存在的必要条件
多元函数在极值点处若存在偏导数，则必为零。
存在的充分条件
若 $f(x,y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 存在二阶偏导，一阶偏导为零， 黑塞矩阵 为：
$$ H = \begin{bmatrix}
f{xx} & f{xy} \
f{yx} & f{yy} \
\end{bmatrix}
$$
则有以下结论：
- 若 $f{xx}f{yy}-f{xy}f{yx}>0$ 且 $f_{xx}>0$， 则 $H$ 为正定矩阵，故 $f(x_0,y_0)$ 为极小值
- 若 $f{xx}f{yy}-f{xy}f{yx}>0$ 且 $f_{xx}<0$， 则 $H$ 为负定矩阵，故 $f(x_0,y_0)$ 为极大值
- 若 $f{xx}f{yy}-f{xy}f{yx}<0$， 则 $H$ 为不定矩阵，故 $f(x_0,y_0)$ 不是极值
有界闭区域上的最值
$f(x,y)$ 在某一有界闭区域上连续，则 $f(x,y)$ 必定有最大最小值。最值可能是区域内极值及边界上的最值。求最值的一般步骤：
- 求 $f(x,y)$ 在区域内所有驻点（偏导为零）及其函数值
- 求 $f(x,y)$ 在边界上的最值
- 比较前两步的函数值，得出最值
求边界上的最值，直接将边界函数代入目标函数或使用拉格朗日乘数法。
条件极值与拉格朗日乘数法
求目标函数极值： $u=f(x,y)$\
约束函数： $\varphi(x,y)=0$\
拉格朗日函数： $F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
目标函数极值点满足（必要条件）拉格朗日函数偏导为零：
$$ \left{ \begin{array}{l}
F_x = 0 \
Fy = 0 \
F\lambda = \varphi(x,y) = 0
\end{array} \right. $$
可推广到多元函数多约束函数情况。