微积分——不定积分计算

微积分笔记

第一类换元法（凑微分）

将 积分变量 视作换元方程的 自变量
$$\int f[u(x)]u’(x) dx = \int f[u(x)] du(x)$$

第二类换元法

将 积分变量 视作换元方程的 函数
$$\int f(x) dx = \int f[x(t)]x’(t) dt$$
对 根式 可考虑第二类换元。

三角换元

存在下列类型的 根式，做三角换元：
$$\sqrt{a^2 - x^2},\quad let\; x=a\sin t$$
$$\sqrt{x^2 + a^2},\quad let\; x=a\tan t \quad (\tan^2t + 1 = \sec^2 t)$$
$$\sqrt{x^2 - a^2},\quad let\; x=a\sec t \quad (\sec^2t - 1 = \tan^2t )$$
实际上，只要存在 变量平方与常数和 的因子，都可以考虑三角代换，（$x^2+bx+c$ 可变换成 $x^2+c$ 形式）

例代换

新旧变量之间互为倒数换元。一般适用于 被积函数分母的幂至少比分子的高二次。

分部积分法

$$\int u dv = uv - \int v du$$

• 适用 两类函数相乘的结构，同类的两个函数也可考虑，如 $\sqrt{x}/(x-1)^2$
• 按 反、对、幂、三、指 的顺序选择 $u$ 效果较好
• 注意 循环、递推公式

分部积分中，首要任务 是发现被积函数是由两类函数构成的，而分式结构容易让人忽略这点，以下列举几个例子：
$$\frac{\arcsin x}{\sqrt{1+x}}, \quad \frac{\arctan e^x}{e^x}$$

有理公式

两个实系数多项式的商所表示的函数，如 $x / (x^2+1)$。积分方法是

1. 化为多个 真分式 的和，真分式有：

$$\frac{A}{x+a},\quad \frac{A}{(x+a)^k},\quad \frac{Mx + N}{x^2+px+q},\quad \frac{Mx + N}{(x^2+px+q)^k}$$

1. 对真分式分别积分

三角函数有理式

其分母总能用 $sin x, cos x$ 表示，可令 $\tan \frac{x}{2} = t$ 做换元积分，因为 $\arctan x$ 求导为有理式，所以被积函数可转化为有理式，被称为 万能代换。

无法用初等函数表示的积分

$$\sin x^2,\quad e^{-x^2},\quad \sqrt{1+x^2},\quad \frac{\sin x}{x},\quad \frac{x}{\ln x}$$

连续必可积

连续函数必可积，但可积函数未必连续。

分段函数积分（包括绝对值函数）

如果分段函数连续则可积。分段求出原函数后，注意，因为原函数可导必连续，分段的常数 $C$ 应该有关联。