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定积分

微积分笔记

换元积分

注意积分上下限的变化,关键是 积分上下限与被积变量对应

第一类换元法

g=g(x) ,如果视 g 为被积变量

$$ \inta^bf(g(x)) g’(x) dx = \int{g(a)}^{g(b)} f(g) dg = F(g) \bigg|_{g(a)}^{g(b)} $$

如果仍视 x 为被积变量

$$ \int_a^bf(g(x)) g’(x) dx = \inta^b f(g(x)) dg(x) = F(g(x)) \bigg|{a}^b $$

第二类换元法

$$ \inta^bf(x) dx = \int{x^{-1}(a)}^{x^{-1}(b)} f(x(t)) x’(t) dt = F(t) \bigg|_{x^{-1}(a)}^{x^{-1}(b)} $$

无穷项数列和的极限

可考虑使用定积分的定义:

$$ \inta^b f(x) dx = \lim{n \rightarrow \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n f(a+\frac{b-a}{n} i) $$

其关键是猜测出上下限,分离出 ban ,确认 f(x)

分段积分

对分段函数,绝对值函数等

变上限积分

注意,求导时被积函数不能包含自变量,同时,注意在积分外部,自变量不是常数。例子:

F(x)=(x0xf(t)dt)=(xx0f(t)dt)=x0f(t)dt+xf(x)