定积分

微积分笔记

换元积分

注意积分上下限的变化，关键是 积分上下限与被积变量对应

第一类换元法

$g=g(x)$ ，如果视 $g$ 为被积变量

$$ \inta^bf(g(x)) g’(x) dx = \int{g(a)}^{g(b)} f(g) dg = F(g) \bigg|_{g(a)}^{g(b)} $$

如果仍视 $x$ 为被积变量

$$ \int_a^bf(g(x)) g’(x) dx = \inta^b f(g(x)) dg(x) = F(g(x)) \bigg|{a}^b $$

第二类换元法

$$ \inta^bf(x) dx = \int{x^{-1}(a)}^{x^{-1}(b)} f(x(t)) x’(t) dt = F(t) \bigg|_{x^{-1}(a)}^{x^{-1}(b)} $$

无穷项数列和的极限

可考虑使用定积分的定义：

$$ \inta^b f(x) dx = \lim{n \rightarrow \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n f(a+\frac{b-a}{n} i) $$

其关键是猜测出上下限，分离出 $\frac{b-a}{n}$ ，确认 $f(x)$

分段积分

对分段函数，绝对值函数等

变上限积分

注意，求导时被积函数不能包含自变量，同时，注意在积分外部，自变量不是常数。例子：

$$F’(x) = \left( \int_0^x x f(t) dt \right)’ =\left( x \int_0^x f(t) dt \right)’ = \int_0^x f(t) dt + x f(x)$$