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常微分方程

微积分笔记

基本概念

微分方程相关的各种命名都是关于函数与导数的

微分方程

含未知 函数导数 的方程为微分方程。未知函数是一元函数的,称为 常微分方程 ,多元函数的,称为 偏微分方程

函数最高阶导数的阶数

线性方程

$$ y^{(n)}+a1(x)y^{(n-1)}+…+a{n-1}(x)y’+a_n(x)y=f(x) $$

通解

解的独立的任意常数 C 的个数与微分方程的阶数相同。不含任意常数的解称为 特解

齐次函数

函数 f(x,y) 对任意 t 满足: f(tx,ty)=tkf(x,y), 则称之为 k 次齐次函数,k=0 时,称为齐次函数

一阶微分方程

可分离变量方程

dydx=f(x)g(y)

齐次方程

dydx=f(x,y)

其中 f(x,y) 为齐次函数,有 f(x,y)=ϕ(yx)。 解,令 u=yx, 则 u+xdudx=ϕ(u), 化为可分离变量方程。

一阶线性方程

dydx+P(x)y=Q(x)

Q(x)=0, 称为 一阶齐次线性微分方程, 反之 一阶非齐次线性微分方程

一阶齐次线性微分方程

为可分离变量方程,其解为:

y=CeP(x)dx

一阶非齐次线性微分方程

常数变易法, 令齐次解的 C=C(x), 代入非齐次方程,解得:

y=eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+C)

伯努利(Bernoulli)方程

dydx+P(x)y=Q(x)yn(n0,1)

解,令 z=y1n, 得 dzdx+(1n)P(x)z=(1n)Q(x), 转化为一阶非齐次线性微分方程求解

可降阶的高阶微分方程

y(n)=f(x)
y=f(x,y)

p=y, 转化成一阶 p=f(x,p)

y=f(y,y)

p=y, 转化为一阶 y=pdpdy=f(y,p)

二阶齐次线性方程

二阶常系数齐次线性方程

y+py+qy=0

解,令 y=erx, 代入方程: (r2+pr+qr)erx=0, 需求解 特征方程 r2+pr+q=0。 被称为 欧拉待定指数函数法

特征方程的根 通解
r1,r2 y=C1er1x+C2er2x
r1=r2 y=(C1+C2x)er1x
r1,2=α±iβ y=eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))

该解法 可推广到高次

二阶非齐次线性方程

L(y)=y+P(x)y+Q(x)y=f(x)

通解

若 $y^线L(y)=f(x)YL(y)=0y=Y+y^L(y)=f(x)$ 的通解。

二阶常系数非齐次线性方程

y+py+qy=f(x)

为求特解,使用 比较系数法 ,先猜特解的形式,代入方程,比较系数。下面介绍两种 f(x) 下的特解形式。

f(x)=Pm(x)erx

特解 y=xkQm(x)erx, 其中 Pm(x),Qm(x) 均为 m 次多项式, kr 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根,是单根或重根分别取 0,1或2。

f(x)=eλx(Pl(x)cos(wx)+Pn(x)sin(wx))

特解 y=xkeλx(Qm(x)cos(wx)+Rm(x)sin(wx)), 其中 Pl(x),Pn(x),Qm(x),Rm(x) 分别是 l 次、n 次、m 次、m 次多项式, m=max, k 视 \lambda + i w 不是或是特征方程的根分别取0或1。

欧拉方程

$$ p_0 x^n y^{(n)}+ p1 x^{n-1} y^{(n-1)}+…+ p{n-1} x y’+ p_n y=f(x) $$

解,令 x=e^t, 则 x^k y^{(k)}=D(D-1)(D-2)…(D-k+1)y。 其中 D 为微分算子符号,表示求导运算 D=\frac{d}{dt}, 有 Dy=\frac{dy}{dt}, D^n 为高阶求导。将 x^k y^{(k)} 代入欧拉方程,得到一个以 t 为自变量的常系数线性微分方程,可求解。

解题技巧

用简单变量替换

例:

\frac{dy}{dx}=\frac{y-x+1}{y+x+5},\quad let\; \left{ \begin{array}{l} X=x+2\ Y=y+3 \end{array} \right.

\frac{dy}{dx}=\frac{y-x+1}{y-x+5},\quad let\;\; u=y-x

x 视作函数

分段微分方程

注意临界点,如果导数存在则连续,可借此求得临界点值,进一步求解任意常数 C

浓度流动变化问题

浓度 \rho=\frac{m}{V}, m - 物质量,V - 体积。

dm=\rho_{in}dV-\frac{m}{V_0}dV

\rho_{in} 流入浓度, V_0 总体积,常量(假设保持不变)。注意其中的微元思想。