常微分方程

微积分笔记

基本概念

微分方程相关的各种命名都是关于函数与导数的

微分方程

含未知 函数 的 导数 的方程为微分方程。未知函数是一元函数的，称为 常微分方程 ，多元函数的，称为 偏微分方程 。

阶

函数最高阶导数的阶数

线性方程

$$ y^{(n)}+a1(x)y^{(n-1)}+…+a{n-1}(x)y’+a_n(x)y=f(x) $$

通解

解的独立的任意常数 $C$ 的个数与微分方程的阶数相同。不含任意常数的解称为 特解 。

齐次函数

函数 f(x,y) 对任意 t 满足： $f(tx,ty)=t^kf(x,y)$， 则称之为 k 次齐次函数，k=0 时，称为齐次函数

一阶微分方程

可分离变量方程

$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$

齐次方程

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$

其中 $f(x,y)$ 为齐次函数，有 $f(x,y)=\phi(\frac{y}{x})$。 解，令 $u=\frac{y}{x}$, 则 $u+x\frac{du}{dx}=\phi(u)$, 化为可分离变量方程。

一阶线性方程

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

若 $Q(x) = 0$, 称为 一阶齐次线性微分方程, 反之 一阶非齐次线性微分方程

一阶齐次线性微分方程

为可分离变量方程，其解为：

$$y=Ce^{-\int P(x) dx}$$

一阶非齐次线性微分方程

常数变易法, 令齐次解的 $C=C(x)$, 代入非齐次方程，解得：

$$y=e^{-\int P(x) dx}(\int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C)$$

伯努利（Bernoulli）方程

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n \quad (n \ne 0,1)$$

解，令 $z=y^{1-n}$, 得 $\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$, 转化为一阶非齐次线性微分方程求解

可降阶的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)$

$y’’=f(x,y’)$

令 $p=y’$, 转化成一阶 $p’=f(x,p)$

$y’’=f(y,y’)$

令 $p=y’$, 转化为一阶 $y’’=p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$

二阶齐次线性方程

二阶常系数齐次线性方程

$$y’’+py’+qy=0$$

解，令 $y=e^{rx}$, 代入方程： $(r^2+p \cdot r+q \cdot r)e^{rx}=0$, 需求解 特征方程 $r^2+p \cdot r+q = 0$。 被称为 欧拉待定指数函数法 。

特征方程的根	通解
$r_1, r_2$	$y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}$
$r_1=r_2$	$y=(C_1+C_2 x)e^{r_1 x}$
$r_{1,2}=\alpha \pm i \beta$	$y=e^{\alpha x}(C_1 \cos (\beta x) +C_2 \sin (\beta x))$

该解法 可推广到高次

二阶非齐次线性方程

$$L(y)=y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x)$$

通解

若 $y^$是二阶非齐次线性方程$L(y)=f(x)$的一个特解，$Y$是对应齐次方程$L(y)=0$的通解，则$y=Y+y^$是$L(y)=f(x)$ 的通解。

二阶常系数非齐次线性方程

$$y’’ + p y’ + q y = f(x)$$

为求特解，使用 比较系数法 ，先猜特解的形式，代入方程，比较系数。下面介绍两种 $f(x)$ 下的特解形式。

$f(x)=P_m(x)e^{r x}$

特解 $y^* = x^k Q_m(x)e^{rx}$, 其中 $P_m(x),\; Q_m(x)$ 均为 $m$ 次多项式， $k$ 按 $r$ 不是特征方程 $r^2 + p \cdot r + q=0$ 的根，是单根或重根分别取 0，1或2。

$f(x)=e^{\lambda x}(P_l(x)\cos(wx)+P_n(x)\sin(wx))$

特解 $y^* = x^k e^{\lambda x}(Q_m(x)\cos(wx)+R_m(x)\sin(wx))$, 其中 $P_l(x),\;P_n(x),\;Q_m(x),\;R_m(x)$ 分别是 l 次、n 次、m 次、m 次多项式， $m=\max(l,n)$, k 视 $\lambda + i w$ 不是或是特征方程的根分别取0或1。

欧拉方程

$$ p_0 x^n y^{(n)}+ p1 x^{n-1} y^{(n-1)}+…+ p{n-1} x y’+ p_n y=f(x) $$

解，令 $x=e^t$, 则 $x^k y^{(k)}=D(D-1)(D-2)…(D-k+1)y$。 其中 $D$ 为微分算子符号，表示求导运算 $D=\frac{d}{dt}$, 有 $Dy=\frac{dy}{dt}$, $D^n$ 为高阶求导。将 $x^k y^{(k)}$ 代入欧拉方程，得到一个以 $t$ 为自变量的常系数线性微分方程，可求解。

解题技巧

用简单变量替换

例：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y-x+1}{y+x+5},\quad let\; \left{ \begin{array}{l} X=x+2\ Y=y+3 \end{array} \right.$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y-x+1}{y-x+5},\quad let\;\; u=y-x$$

x 视作函数

分段微分方程

注意临界点，如果导数存在则连续，可借此求得临界点值，进一步求解任意常数 $C$

浓度流动变化问题

浓度 $\rho=\frac{m}{V}$, m - 物质量，V - 体积。

$$dm=\rho_{in}dV-\frac{m}{V_0}dV$$

$\rho_{in}$ 流入浓度， $V_0$ 总体积，常量（假设保持不变）。注意其中的微元思想。