矩阵的秩

矩阵相关

秩与行列式密切相关 。注意，相比于行列式， 秩适用于任意的矩阵。

性质

初等变换不改变矩阵的秩

即 $r(\mathbf{PAQ})=r(\mathbf{A})$, 其中 $\mathbf{P}$, $\mathbf{Q}$ 为可逆矩阵

一些结论

• $R(\mathbf{A}) = R(\mathbf{A^T})$
• $r(\mathbf{AB}) \le \min(r(\mathbf{A}),\; r(\mathbf{B}))$
• $r(\mathbf{A+B})\le r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$
• $r(\mathbf{A, B})\le r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$
• $r(\mathbf{A^TA})=r(\mathbf{AA^T})=r(\mathbf{A})$
• 若 $\mathbf{A}{m\times n}\mathbf{B}{n\times p}=\mathbf{0}$, 则$r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B}) \le n$

与方程组的解

• 齐次方程组有非零解（有多解）， $r(\mathbf{A})<n$
• 非齐次方程组有解， $r(\mathbf{A}) = r(\mathbf{A},\mathbf{b})$

计算

通过初等变换化为阶梯矩阵