Processing math: 3%

矩阵特征值、正交化与对角化

矩阵相关

几何上看,特征向量乘对应矩阵相当于做一次“伸缩”变换。 每个方阵都有(实数或复数)特征值, 而一个特征值对应无数个特征向量。\
对角化指 相似对角化, 指求解与方阵 相似 的对角矩阵的过程。\
正交化指求解与线性无关向量组 等价 的正交向量组的过程,因为等价,两个向量组在同一子空间。

相关概念

特征子空间(eigenspace)

具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合。

特征方程

关于 λ 的方程

det

称为方阵 \mathbf{A} 的特征方程。由特征值的定义公式推导,其解为方阵 \mathbf{A} 的特征值,被称为 特征根, 根据解的重数分为单特征根与 k 重特征根。

特征值的代数重数与几何重数

特征方程特征值(特征根) \lambda 的重数称为 \lambda 的代数重数,而 \lambda 的特征子空间的维数(基向量个数)称为几何重数。 特征值的几何重数不大于它的代数重数

特征值与特征向量的计算

  1. 根据特征方程 \det (\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}) = 0 计算全部特征根 \lambda_1 \sim \lambda_k\;(k \le n)
  2. 线性方程组 (\lambda_i \mathbf{I}-\mathbf{A})\mathbf{X}=\mathbf{0} 的通解 除去零向量 即对应于 \lambda_i 的所有特征向量

一般矩阵的相似对角化

\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P} = \mathbf{Diag}[\lambda_1, \lambda_2,…,\lambda_n]

现需求解 \lambda\mathbf{P}。首先要求 A 能对角化。

  1. 求解 A 的特征值 \lambda, 相似对角矩阵的对角元素即 \lambda, 每个特征值出现的次数与其代数重数相等
  2. 求解每个特征值对应的特征向量,检查是否满足对角化条件。P 即特征列向量构成的矩阵,排列顺序与特征值相同。

施密特正交化

前提是 向量组线性无关。 对 \alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_s 施密特正交化:

\beta_1 = \alpha_1\
\beta_2 = \alpha_2 - (\alpha_2\cdot \beta_1)/(\beta_1\cdot \beta_1)\,\beta_1\
\beta_3 = \alpha_3 - (\alpha_3\cdot \beta_1)/(\beta_1\cdot \beta_1)\,\beta_1 - (\alpha_3\cdot \beta_2)/(\beta_2\cdot \beta_2)\,\beta_2\
…\
$\beta_s = \alpha_s - (\alpha_s\cdot \beta_1)/(\beta_1\cdot \beta_1)\,\beta_1 - (\alpha_s\cdot \beta_2)/(\beta_2\cdot \beta_2)\,\beta_2-… - (\alphas\cdot \beta{s-1})/(\beta{s-1}\cdot \beta{s-1})\,\beta_{s-1}$

得到正交向量组,再令 \gamma_i = \beta_i / (|\beta_i|) 得到标准正交向量组

实对称矩阵的相似对角化

与一般矩阵的相似对角化相同,但习惯更进一步,要求 \mathbf{P} 正交,所以在对每个特征值求解出特征向量组后,需要做标准正交化处理。(不同特征值的特征向量彼此正交,不必处理)

性质

特征值的和积

$$ \lambda_1 + \lambda_2 + … \lambdan = a{1,1} + a{2,2} + … + a{n,n} \
\lambda_1\lambda_2…\lambda_n = \det \mathbf{A} $$

其中包括复数特征根。可得 方阵可逆的充要条件是其所有特征值全不为零

不同特征值的特征向量线性无关

对角化与特征值的相关定理

  • 相似矩阵的特征值相同
  • n 阶方阵能对角化的充要条件
    • A 的每个特征值 \lambda_i 的代数重数 k_i 等于方程组 (\lambda_i \mathbf{I} - \mathbf{A}) \mathbf{X} = \mathbf{0} 的基础解系向量个数,即 k_i=n - R(\lambda_i \mathbf{I} - \mathbf{A})
    • A 有 n 个线性无关的特征向量
    • 充分条件:特征值都是单特征根
  • 相似对角方阵的对角元素是全部特征值

正交矩阵的相关性质

  • \det \mathbf{A} = \pm 1
  • \mathbf{A},\;\mathbf{B} 正交,则 \mathbf{AB} 正交

实对称矩阵相关性质

  • 特征值都是实数
  • 不同特征值的特征向量彼此正交
  • 一定有 正交方阵 \mathbf{C} 使之相似对角化 \mathbf{C^{-1}AC}=\mathbf{C^TAC}