二次型

矩阵相关

参考：

• 线性代数知识梳理6——二次型
• 矩阵特征值、正交化与对角化
• 西尔维斯特惯性定理

相关概念

可逆线性变换

$$\mathbf{X} = \mathbf{CY}$$

该公式实现从未知数向量 $\mathbf{Y}$ 到 $\mathbf{X}$ 的线性变换，当 $\mathbf{C}$ 可逆时，称为可逆线性变换。

标准形

平方和形式的二次型，其系数矩阵为对角矩阵。

规范形

二次型是平方和形式、且系数为 $\pm 1$， 正在前，负在后。

惯性指数

标准形中正系数的项数为正惯性指数，负系数的项数为负惯性指数。

二次型化为标准形

通过可逆线性变换 $\mathbf{X} = \mathbf{CY}$， 变换二次型 $f(\mathbf{X})=\mathbf{X^T A X}=\mathbf{Y^T (C^T A C) Y}$。 要求 C 可逆，因为 可逆线性变换不改变二次型的秩。\
二次型化通过可逆线性变换为标准形，即求可逆 $\mathbf{C}$ 使得系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的 合同 矩阵 $\mathbf{\Lambda}=\mathbf{C^T A C}$ 为对角矩阵。（当然 $\mathbf{\Lambda}$ 也解出了）整个过程可视作对实对称矩阵 A 的合同对角化。

配方法

对 x 挨个配方，再用 x 表示 y 构成方程组，求该方程组系数矩阵的逆矩阵即 $\mathbf{C}$， 标准形在配方时可知。 （参考：线性代数知识梳理6——二次型）

正交变换

在可逆线性变换 $\mathbf{X} = \mathbf{CY}$ 的基础上，进一步要求 $\mathbf{C}$ 为正交矩阵。\
求解步骤参考 实对称矩阵的相似对角化。

相关定理

惯性定理

二次型通过可逆线性变换能化为规范形且规范形唯一。所以， 可逆线性变换不改变二次型的秩和正负惯性指数。（参考：西尔维斯特惯性定理）

正定矩阵的充要条件

对实对称矩阵 $\mathbf{A}$

• 特征值全为正实数
• 与单位矩阵合同
• 顺序主子式全大于零

顺序主子式： 方阵的前 k 行 k 列的行列式

负定矩阵的充要条件

对实对称矩阵 $\mathbf{A}$

• 特征值全为负实数
• 二次型负惯性指数为 n
• 顺序主子式满足： $(-1)^k P_k >0\;\;(k=1,2,…,n)$