超平面
平面
平面有两个自由度
平面表示方法
点法式方程
$$ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0 $$
其中 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 为平面上一点， $\mathbf{n}=(a,b,c)$ 为平面法向量
一般式方程
$$ ax + by + cz + d = 0 $$
其中 $\mathbf{n}=(a,b,c)$ 为平面法向量。若 $d=0$，平面过原点；若 $a=0$ 且 $d\ne0$， 法向量正交 x 轴，故平面平行于 x 轴。
平面间位置关系
- 平行 $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\ne\frac{d_1}{d_2}$
- 重合 $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{d_1}{d_2}$
- 相交 $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ 不成立
点到平面距离
点 $(x_0,y_0,z_0)$， 平面 $Ax+By+Cz+D=0$
$$ d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$
直线
直线只有一个自由度
直线表示方法
点向式方程
$$ \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} $$
其中 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 为直线上一点， $\mathbf{s}=(m,n,p)$ 为直线的 方向向量。 如果 $m=0$， 应该转化为 $x=x_0$。
参数式方程
$$ \left{ \begin{array}{l}
x=\lambda m + x_0\
y=\lambda n + y_0\
z=\lambda p + z_0
\end{array} \right. $$
其中 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 为直线上一点， $\mathbf{s}=(m,n,p)$ 为直线的 方向向量。
一般式方程
$$ \left{ \begin{array}{l}
a_1 x+ b_1 y + c_1 z+ d_1 = 0\
a_2 x+ b_2 y + c_2 z+ d_2 = 0
\end{array} \right. $$
两平面相交的直线方程。
直线间位置关系
$\mathbf{s}_1$ 与 $\mathbf{s}_2$ 分别为两直线的方向向量， $M_1$ 与 $M_2$ 分别为其上两点。
- 两直线平行 $\Leftrightarrow$ 方向向量平行且不平行于 ${M_1M_2}$
- 两直线重合 $\Leftrightarrow$ 方向向量平行且平行于 ${M_1M_2}$
- 两直线相交 $\Leftrightarrow$ 方向向量不平行且与 ${M_1M_2}$ 混合积为零（共面）
- 两直线异面 $\Leftrightarrow$ 方向向量不平行且与 ${M_1M_2}$ 混合积不为零（非共面）
直线与平面的位置关系
- 平行 $\Leftrightarrow$ 方向向量与平面法向量正交，且直线至少有一点不在平面上
- 直线在平面上 $\Leftrightarrow$ 方向向量与平面法向量正交，且直线至少有一点在平面上
- 相交 $\Leftrightarrow$ 方向向量与平面法向量非正交
对直线：
$$ \left{ \begin{array}{l}
a_1 x+ b_1 y + c_1 z+ d_1 = 0\
a_2 x+ b_2 y + c_2 z+ d_2 = 0
\end{array} \right. $$
则过直线的平面方程可表示为：
$$ \alpha(a_1 x+ b_1 y + c_1 z+ d_1) + \beta (a_2 x+ b_2 y + c_2 z+ d_2) = 0 $$